VECTOR

Besaran Vektor adalah besaran yang memiliki nilai dan arah, contoh besaran vektor adalah perpindahan, kecepatan, gaya, torsi, medan listrik dan sebagainya.

berikut adalah rangkuman materi, rumus dan contoh soal VEKTOR SMA kelas 10 semester 1 SMA

# Notasi vektor :

     r = xi + yj

# Besar atau nilai suatu besaran vektor vektor

		­­­­­­­­________
| r | =	√	x2 + y2

atau:

      r² = x² + y²  

x = vektor posisi pada sumbu x

y = vektor posisi pada sumbu y

i = vektor satuan untuk sumbu x

j = vektor satuan untuk sumbu y

Aturan penulisan notasi vektor:

Besaran vektor diketik dengan huruf tebal untuk membedakan dengan besaran skalar

Contoh soal: tentang notasi vektor dan nilai atau besar vektor

Sebuah partikel berada pada posisi koordinat awal (4 , 5) dan bergerak sampai koordinat akhir (7 , 9). Tentukan:

a. Tulis dalam notasi vektor

b. Hitung besar perpindahan 

Penyelesaian / pembahasan:

a. Notasi vektor:

Posisi awal ro = 4i + 5j

Posisi akhir r₁ = 7i + 9j

b. Perpindahan adalah selisih posisi akhir dan awal

Δr = (7 - 4)i + (9 - 5)j = 3i + 4j

Besar Perpindahan:

|Δr| = 3i + 4j

Δr² = 3² + 4² 

Δr² = 9 + 16 = 25 

 

|Δr| = √25

Δr = 5 satuan

# Resultan / penjumlahan vektor

- Penjumlahan dan selisih dua vektor yang mengapit sudut Ө

		­­­­­­­­__________________
| A+B | =	√	A² + B² + 2AB.Cos Ө

		­­­­­­­­__________________
| A -B | =	√	A² + B² - 2AB.Cos Ө

contoh:

Dua buah gaya masing-masing 10 N dan15 N membentuk sudut 60⁰. Besar resultan kedua gaya tersebut adalah . . . .
jawab
rumus resultan penjumlahan dua vektor mengapit sudut atau juga dikenal rumus cosinus abc 

R² = A² + B² + 2.A.B.cos α
R² = 10² + 15² + 2.10.5.cos 60
R² = 100 + 225 + 300 . 1/2

R² = 100 + 225 + 150

R² = 475

R = √475 = 5√19 N

# vektor komponen


Jika vektor A membentuk sudut sebesar θ terhadap sumbu x positif, maka vektor komponennya adalah:

Ax = A. cos θ

Ay = A. sin θ


Jika terdapat banyak vektor maka besar resultannya adalah:

		_______
R =	√	Σx2 + ΣY2

Arah vektor:

	ΣY
Tan α =	____
	ΣX

contoh soal:
Perhatikan gambar gaya-gaya di bawah ini! 


resultan dan arah vektor gaya diatas adalah:

pembahasan / penyelesaian:

mencari besar resultan gaya

komponen vektor pada sumbu x:
F1x = F1 . cos 60 = 6 . 1/2 = 3
F2x = - 6
F2x = F2 . cos 60 = 12 . 1/2 = 6
ΣFx = 3 - 6 + 6 = 3

komponen vektor pada sumbu y:
F1y = F1 . sin 60 = 6 . 1/2(√3) = 3
F2y = 0
F3y = - F3 . sin 60 = - 12 .1/2 (√3)
ΣFy = 3(√3) + 0 - 6(√3) = -3(√3)

rumus besar resultan:

R² = ΣFx² + ΣFy²
R² = 3² + (-3√3)²
R² = 9 + 27
R² = 36
R = √36 = 6 N

mencari arah gaya:
Tan α = ^ΣY/_ΣX

Tan α = ^-3√3/₃

Tan ɑ = - √3

 

α = arc tan -√3 = - 60⁰ 

α = 120 ⁰ atau 300 ⁰ ( tan bernilai negatif pada kuadran 2 dan 4)

# perkalian vektor
- perkalian titik (dot product)
aturan perkalian titik:
i.i = 1 (Cara Baca: i dot i sama dengan 1)
j.j = 1
k.k = 1
i.j =0
i.k = 0
j.k = 0

| A.B | = |A|.|B|.Cos θ

- perkalian silang (cross product)
aturan perkalian silang:
j x k = i (cara baca: j cross k ssamadengan j)
k x i = j
i x j = k
j x i = - k
i x k = - j
k x j = - i
i x i = 0
j x j = 0
k x k = 0

| A x B | = |A|.|B|.Sin θ

Contoh:
Dua buah vektor A dan B masing - masing
A = (2i + j - k)
B = (i +3j + k)
hitung besar dari:
a. A . B
b. A x B
Penyelesaian / pembahasan:
Dari soal kita lakukan perkalikan seperti biasa:

(2i + j - k)(i +3j + k)

a. perkalian dot antara A dan B

(2i + j - k) . (i +3j + k)

A . B = 2i.i + 2i.3j + 2i.k + j.i + j.3j + j.k - k.i - k.3j - k.k 
A . B = 2+ 0 + 0 + 0 + 3 +0 - 0 - 0 - 1 = 2 + 3 - 1 = 4
jadi nilai A . B = 4

b. perkalian cross antara A dan B

(2i + j - k) x (i +3j + k)

A x B = 2i x i + 2i x 3j + 2i x k + j x i + j x 3j + j x k - k x i - k x 3j - k x k  

 A x B = i - j + 6k + (-k) +  (3i) + (-2j)

A x B = 4i - 3j + 5k